🔢
Progresiones Aritméticas
Fórmulas: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) y \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
📌 Nota: Todos los cálculos intermedios se realizan con la máxima precisión decimal.
Los resultados finales se presentan truncados a 2 decimales.
📘
Explicación
Una progresión aritmética es una secuencia de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Esta diferencia se llama d (razón o diferencia).
- a₁ = primer término
- d = diferencia común
- n = número de términos
- aₙ = término general o enésimo
- Sₙ = suma de los primeros n términos
Ejemplo resuelto:
Encuentra el término 10 y la suma de los primeros 10 términos de la progresión: 5, 8, 11, 14, ...
a₁ = 5, d = 3, n = 10
a₁₀ = 5 + (10-1)·3 = 5 + 27 = 32
S₁₀ = (10/2)·(5 + 32) = 5·37 = 185
Ejercicios de Práctica
1
Calcula el término 15 de la progresión: 3, 7, 11, 15, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
👁️ Ver respuesta
a₁₅ = 3 + (14)·4 = 3 + 56 = 59.00
2
Encuentra la suma de los primeros 12 términos de la progresión: 2, 5, 8, 11, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
👁️ Ver respuesta
a₁₂ = 2 + 11·3 = 35, S₁₂ = (12/2)·(2+35) = 6·37 = 222.00
3
Encuentra el término 20 de la progresión: 100, 93, 86, 79, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
👁️ Ver respuesta
d = -7, a₂₀ = 100 + 19·(-7) = 100 - 133 = -33.00
4
Calcula la suma de los primeros 15 términos de: 6, 10, 14, 18, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
👁️ Ver respuesta
a₁₅ = 6 + 14·4 = 62, S₁₅ = (15/2)·(6+62) = 7.5·68 = 510.00
5
¿Cuál es el término 25 de la progresión: 1, 4, 7, 10, ...?
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
👁️ Ver respuesta
a₂₅ = 1 + 24·3 = 1 + 72 = 73.00
6
Suma los primeros 8 términos de: 12, 17, 22, 27, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
👁️ Ver respuesta
a₈ = 12 + 7·5 = 47, S₈ = (8/2)·(12+47) = 4·59 = 236.00
7
Encuentra el término 30 de: 50, 44, 38, 32, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
👁️ Ver respuesta
d = -6, a₃₀ = 50 + 29·(-6) = 50 - 174 = -124.00
8
Calcula la suma de los primeros 20 términos de: 3, 8, 13, 18, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
👁️ Ver respuesta
a₂₀ = 3 + 19·5 = 98, S₂₀ = (20/2)·(3+98) = 10·101 = 1010.00
9
¿Cuál es el término 12 de: 7, 3, -1, -5, ...?
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
👁️ Ver respuesta
d = -4, a₁₂ = 7 + 11·(-4) = 7 - 44 = -37.00
10
Suma los primeros 10 términos de: 20, 18, 16, 14, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
👁️ Ver respuesta
a₁₀ = 20 + 9·(-2) = 2, S₁₀ = (10/2)·(20+2) = 5·22 = 110.00
📊
Progresiones Geométricas
Fórmulas: \(a_n = a_1 r^{n-1}\) y \(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
📌 Nota: Todos los cálculos intermedios se realizan con la máxima precisión decimal.
Los resultados finales se presentan truncados a 2 decimales.
📘
Explicación
Una progresión geométrica es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón (r).
- a₁ = primer término
- r = razón (factor multiplicativo)
- n = número de términos
- aₙ = término general
- Sₙ = suma de los primeros n términos (si r ≠ 1)
Ejemplo resuelto:
Encuentra el término 6 y la suma de los primeros 6 términos de: 2, 6, 18, 54, ...
a₁ = 2, r = 3, n = 6
a₆ = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486
S₆ = 2 · (1 - 3⁶)/(1 - 3) = 2 · (1 - 729)/(-2) = 2 · (-728)/(-2) = 2 · 364 = 728
Ejercicios de Práctica
1
Calcula el término 8 de la progresión: 3, 6, 12, 24, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 r^{n-1}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 3, r = 2, a₈ = 3·2⁷ = 3·128 = 384.00
2
Suma los primeros 5 términos de: 5, 15, 45, 135, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 5, r = 3, S₅ = 5·(1-3⁵)/(1-3) = 5·(1-243)/(-2) = 5·(-242)/(-2) = 5·121 = 605.00
3
Encuentra el término 10 de: 2, -4, 8, -16, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 r^{n-1}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 2, r = -2, a₁₀ = 2·(-2)⁹ = 2·(-512) = -1024.00
4
Suma los primeros 6 términos de: 1, 2, 4, 8, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 1, r = 2, S₆ = 1·(1-2⁶)/(1-2) = (1-64)/(-1) = 63.00
5
Calcula el término 7 de: 10, 30, 90, 270, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 r^{n-1}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 10, r = 3, a₇ = 10·3⁶ = 10·729 = 7290.00
6
Suma los primeros 4 términos de: 8, 4, 2, 1, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 8, r = 1/2, S₄ = 8·(1-(1/2)⁴)/(1-1/2) = 8·(1-1/16)/(1/2) = 8·(15/16)·2 = 15.00
7
Encuentra el término 9 de: 4, 12, 36, 108, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 r^{n-1}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 4, r = 3, a₉ = 4·3⁸ = 4·6561 = 26244.00
8
Suma los primeros 7 términos de: 3, 6, 12, 24, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 3, r = 2, S₇ = 3·(1-2⁷)/(1-2) = 3·(1-128)/(-1) = 3·127 = 381.00
9
Calcula el término 6 de: 5, -15, 45, -135, ...
🔢 Fórmula
\(a_n = a_1 r^{n-1}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 5, r = -3, a₆ = 5·(-3)⁵ = 5·(-243) = -1215.00
10
Suma los primeros 5 términos de: 2, 6, 18, 54, ...
🔢 Fórmula
\(S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}\)
👁️ Ver respuesta
a₁ = 2, r = 3, S₅ = 2·(1-3⁵)/(1-3) = 2·(1-243)/(-2) = 2·121 = 242.00
💰
Interés Simple — Capital, Monto, Tasa y Tiempo
Fórmulas: \(I = C i n\), \(VF = C(1 + i n)\), \(VP = \frac{VF}{1 + i n}\)
📌 Nota: Todos los cálculos intermedios se realizan con la máxima precisión decimal.
Los resultados finales se presentan truncados a 2 decimales.
📘
Explicación
El interés simple se calcula únicamente sobre el capital inicial. No se generan intereses sobre intereses.
- C = Capital inicial
- i = Tasa de interés (en decimal, anual generalmente)
- n = Tiempo (en años)
- I = Interés generado
- VF = Valor Futuro (Monto total: Capital + Interés)
- VP = Valor Presente (Capital inicial)
Ejemplo resuelto:
¿Cuánto interés genera un capital de $10,000 al 8% anual durante 3 años?
I = C·i·n = 10,000 · 0.08 · 3 = $2,400.00
VF = C + I = 10,000 + 2,400 = $12,400.00
También: VF = C(1 + i·n) = 10,000(1 + 0.08·3) = 10,000(1.24) = $12,400.00
Ejercicios de Práctica
1
Calcula el interés generado por $5,000 al 6% anual durante 4 años.
🔢 Fórmula
\(I = C \cdot i \cdot n\)
👁️ Ver respuesta
I = 5,000 · 0.06 · 4 = $1,200.00
2
¿Cuál es el monto total (VF) de $8,000 al 5% anual durante 6 años?
🔢 Fórmula
\(VF = C(1 + i n)\)
👁️ Ver respuesta
VF = 8,000 · (1 + 0.05·6) = 8,000 · 1.30 = $10,400.00
3
¿Qué capital inicial se necesita para tener $15,000 en 5 años al 7% anual?
🔢 Fórmula
\(VP = \frac{VF}{1 + i n}\)
👁️ Ver respuesta
VP = 15,000 / (1 + 0.07·5) = 15,000 / 1.35 = $11,111.11
4
Un capital de $12,000 genera $3,600 de interés en 5 años. ¿Cuál fue la tasa anual?
🔢 Fórmula
\(i = \frac{I}{C \cdot n}\)
👁️ Ver respuesta
i = 3,600 / (12,000·5) = 3,600 / 60,000 = 0.06 = 6.00% anual
5
¿En cuántos años $7,000 al 9% anual generan $2,835 de interés?
🔢 Fórmula
\(n = \frac{I}{C \cdot i}\)
👁️ Ver respuesta
n = 2,835 / (7,000·0.09) = 2,835 / 630 = 4.50 años
6
Calcula el interés de $9,000 al 10% anual durante 8 meses.
🔢 Fórmula
\(I = C \cdot i \cdot \frac{meses}{12}\)
👁️ Ver respuesta
I = 9,000 · 0.10 · (8/12) = 9,000 · 0.10 · 0.6666666667 = $600.00
7
¿Cuál es el VF de $4,500 al 12% anual durante 3 años?
🔢 Fórmula
\(VF = C(1 + i n)\)
👁️ Ver respuesta
VF = 4,500 · (1 + 0.12·3) = 4,500 · 1.36 = $6,120.00
8
¿Qué capital genera $2,400 de interés al 8% anual en 3 años?
🔢 Fórmula
\(C = \frac{I}{i \cdot n}\)
👁️ Ver respuesta
C = 2,400 / (0.08·3) = 2,400 / 0.24 = $10,000.00
9
Un préstamo de $20,000 se paga con $26,000 después de 4 años. ¿Cuál fue la tasa anual?
🔢 Fórmula
\(i = \frac{VF - C}{C \cdot n}\)
👁️ Ver respuesta
i = (26,000 - 20,000) / (20,000·4) = 6,000 / 80,000 = 0.075 = 7.50% anual
10
¿En cuánto tiempo $15,000 al 11% anual generan $4,125 de interés?
🔢 Fórmula
\(n = \frac{I}{C \cdot i}\)
👁️ Ver respuesta
n = 4,125 / (15,000·0.11) = 4,125 / 1,650 = 2.50 años